10 Turunan Parsial
10.1 turunan Parsial dan product marginal
Untuk fungsi produksi Q = f (K, L) dengan dua variabel independen yaitu L dan K. dari 2 variabel tersebut, fungsi akan berubah jika salah satu variabel independen meningkat sementara yang lain tetap konstan. Jika K adalah konstanta dan L meningkat, kami akan menentukan produk total tenaga kerja (TPL) jadwal (TPL sama seperti output Q). Hal ini dapat ditunjukkan dalam Gambar 10.1
Dalam kursus pengantar mikroekonomi, produk marjinal L (MPL) dapat didefinisikan sebagai peningkatan TPL disebabkan oleh salah satu unit yaitu L mengalami kenaikan, dengan asumsi K untuk diperbaiki di beberapa tingkat tertentu. Dapat didefinisikan juga bahwa MPL adalah laju perubahan TPL terhadap L. Untuk setiap nilai yang diberikan L adalah kemiringan fungsi TPL. (Lihat kembali pada Bagian 8.3) Jadi MPL yang terdapat dalam Gambar 10.1 adalah maksimum ketika TPL terlihat curam di M, dan nol jika TPL maksimum pada diferensiasi parsial N.
Turunan parsial adalah teknik untuk mengurangi laju perubahan fungsi yang berhubungan dengan peningkatan satu variabel independen ketika semua variabel bebas lainnya dalam fungsi tetap konstan. Oleh karena itu, jika produksi fungsi Q = f (K, L) diturunkan terhadap L, variabel K tetap konstan, kita memperoleh tingkat perubahan dalam produk total terhadap L, dalam kata lain MPL.
Aturan dasar untuk turunan parsial adalah bahwa semua variabel independen, selain fungsi yang diturunkan terhadapnya, dianggap sebagai konstanta. Selain itu, turunan parsial juga memiliki aturan standar turunan seperti yang dijelaskan dalam Bab 8. Simbol ∂ digunakan dalam turunan parsial untuk membedakannya dari turunan dari suatu fungsi variabel tunggal dimana biasanya menggunakan 'd'. Sebagai contoh, turunan parsial dari fungsi produksi di atas diturunkan terhadap L ditulis
Kita dapat melihat fungsi dengan format , untuk mengurangi produktivitas marjinal ini berlaku untuk setiap entri yaitu 0 < α, β <1. Jika k adalah tetap, dan L adalah variabel. produk marjinal L dapat ditemukan dengan cara turunan parsial seperti biasa. Jadi, ketika
Q = AKαLβ
Jika K adalah sebuah konstanta maka α, β dan A juga konstan, pembilang dalam ekspresi βAKα adalah konstan. Dan penyebut, L meningkat semakin besar L1-β (diberikan 0 <β <1) sehingga nilai fungsi MPL menurun,dan produk marjinal menurun seiring L meningkat. Demikian pula, jika K adalah meningkat sementara L tetap konstan,
Yang mana terjadi peningkatan nilai dari K. Bila ada lebih dari dua masukan dalam fungsi produksi, prinsip yang sama masih berlaku. Misalnya, jika
, dimana X1, X2, X3, X4 adalah input, jika input dari marjinal produknya X3 akan menjadi
Yang mana mengalami penurunan dengan meningkatnya X3, ceteris paribus.
Kita juga dapat melihat bahwa untuk format fungsi produksi Cobb-Douglas dari produk marjinal akan terus menurun menuju nol dan tidak akan pernah 'keluar' untuk nilai L terbatas, yaitu tidak akan pernah mencapai titik minimum di mana kemiringan adalah nol. Jika, misalnya,
, Jika kondisinya minimum maka
jika K = 0 , demikian Q = 0, atau jika L menjadi besar tak berhingga. Karena, untuk nilai-nilai terbatas L, MPL masih tetap positif, meskipun L menjadi besar, ini berarti bahwa, isokuan ke fungsi produksi untuk dua input Cob-Douglas isokuan tidak pernah "lipat"
Namun, ada format lain yang mungkin untuk fungsi produksi . Misalnya, jika
Q = 4,6 K2 + 3,5 L2-0,012K3L3
kemudian MPL pertama akan naik dan kemudian jatuh sejak
Kemiringan fungsi MPL akan berubah dari positif ke nilai negatif sebagai L meningkat sejak
Nilai aktual dan posisi dari fungsi MPL bergantung pada nilai input K lain yang diperlukan.
Ketika fungsi memiliki variabel besar, dapat menggunakan rumus singkat seperti biasanya. Contoh, untuk fungsi f=f(x1,x2,x3,............,xn) dapat ditulis
Dan seterusnya.
Turunan kedua ini akan dijelaskan pada bagian 10.3
VITAAAAAAAAAAAAAA
Fungsi Pengeluaran dan Pendapatan
Beberapa perusahaan menghasilkan produk yang berbeda. Ketika fasilitas produksi umum digunakan, biaya dari produk itu sendiri akan terkait dan ini tercermin pada biaya total. Biaya terkecil/minimal dari produk itu sendiri dapat diperoleh dari turunan parsial.
Terlihat bahwa tingkat biaya minimal untuk satu barang akan tergantung pada jumlah barang lain yang dihasilkan.
Beberapa produsen dapat memproduksi barang berbeda yang saling bersaing di pangsa pasar, atau barang-barang tersebut saling berkomplemen. Hal ini berarti bahwa harga barang satu akan mempengaruhi banyaknya permintaan terhadap barang lain yang dijual oleh produsen yang sama. Pendapatan minimal untuk satu barang maka terlihat dari turunan parsial dari total pendapatan sehubungan dengan tingkat keluaran barang tertentu,
dengan asumsi bahwa harga barang lainnya tetap.
Fungsi pendapatan minimal (1) dan (2) untuk MRA dan MRB menunjukkan bahwa, karena
fungsi permintaan untuk dua barang yang saling terkait, fungsi pendapatan minimal untuk satu
barang akan tergantung pada tingkat harga barang lainnya.
fungsi permintaan untuk dua barang yang saling terkait, fungsi pendapatan minimal untuk satu
barang akan tergantung pada tingkat harga barang lainnya.
10.3 Turunan parsial orde kedua
Turunan parsial orde kedua diperoleh dari menurunkan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi. Ketika suatu fungsi memiliki 2 variabel yang independen maka fungsi tersebut dapat diturunkan sampai turunan parsial orde kedua.
Contoh:
Fungsi tersebut diturunkan pada turunan parsial orde pertama
Turunan parsial orde pertama merupakan fungsi produk minimal untuk K dan L.
Turunan parsial orde kedua fungsi tersebut didapatkan:
Turunan parsial orde kedua menunjukkan laju perubahan dari fungsi produk minimal.
Pada contoh diatas memperlihatkan bahwa kemiringan MPL (yaitu ) akan selalu menjadi negatif (dengan asumsi nilai-nilai positif dari K dan L) dan L meningkat, nilai mutlak dari kemiringan ini berkurang.
Kita dapat menemukan tingkat perubahan sehubungan dengan perubahan dalam L dan tingkat sehubungan dengan K. terlihat bahwa:
Dikenal sebagai 'turunan parsial silang'. Hal ini menunjukkan tingkat perubahan Q sehubungan dengan mengubah suatu input saat perubahan input lain. Dalam contoh ini, persilangan turunan parsial yaitu menunjukkan bahwa tingkat perubahan MPL sehubungan dengan perubahan di K akan bernilai positif dengan meningkatnya nilai K.
Sehingga didapat:
Jadi untuk setiap fungsi kontinu dengan dua variabel y = f (x, z), terdapat 4 turunan parsial orde kedua:
Dengan turunan parsial silang (iii) dan (iv) selalu sama, sehingga:
Untuk menentukan efek dari perubahan dalam K pada fungsi laba marjinal sehubungan dengan L,
kita perlu membedakan (1) sehubungan dengan K, memberikan
Ini derivatif parsial lintas akan positif sepanjang K dan L adalah positif. Ini adalah yang kita
harapkan dan peningkatan K akan memiliki efek positif pada keuntungan ekstra yang dihasilkan
oleh kenaikan marjinal pada L. Besarnya dampak ini akan tergantung pada nilai K
dan L.
harapkan dan peningkatan K akan memiliki efek positif pada keuntungan ekstra yang dihasilkan
oleh kenaikan marjinal pada L. Besarnya dampak ini akan tergantung pada nilai K
dan L.
orde kedua dan derivatif parsial lintas juga dapat diturunkan untuk fungsi-fungsi dengan tiga
atau lebih variabel independen. Untuk fungsi dengan tiga variabel independen, seperti
y = f (w, x, z) akan ada tiga orde kedua derivatif parsial
atau lebih variabel independen. Untuk fungsi dengan tiga variabel independen, seperti
y = f (w, x, z) akan ada tiga orde kedua derivatif parsial
ditambah enam parsial derivatif lintas
Ini diatur dalam pasangan karena, seperti dengan kasus dua variabel, turunan parsial lintas
akan sama jika dua tahap diferensiasi melibatkan dua variabel yang sama.
akan sama jika dua tahap diferensiasi melibatkan dua variabel yang sama.
10.4 fungsi dengan dua variable
Untuk fungsi dua variable y=f(x,Z) menjadi minimum atau maksimum, pada keadaan pertama harus
Untuk optimasi dari dua fungsi variabel ada dua set orde kedua kondisi.
Untuk setiap fungsi y = f (x, z).
Ini mirip dengan kondisi orde kedua untuk optimasi dari variabel tunggal
fungsi. Tingkat perubahan dari fungsi (yaitu kemiringannya) harus menurun pada stasioner
titik titik itu harus maksimal dan itu harus meningkat untuk titik stasioner menjadi
minimal. Perbedaannya di sini adalah bahwa kondisi ini harus terus sehubungan dengan perubahan dalam
baik independen variabel.
(2) Kondisi orde kedua lainnya adalah
fungsi. Tingkat perubahan dari fungsi (yaitu kemiringannya) harus menurun pada stasioner
titik titik itu harus maksimal dan itu harus meningkat untuk titik stasioner menjadi
minimal. Perbedaannya di sini adalah bahwa kondisi ini harus terus sehubungan dengan perubahan dalam
baik independen variabel.
(2) Kondisi orde kedua lainnya adalah
Ini harus memegang di kedua maksimum dan minimum titik stasioner.
Memeriksa kondisi orde kedua dengan membedakan (1) dan (2) lagi:
Perhatikan bahwa metode ini juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah pabrik monopoli banyak di Bab 5 yang hanya terlibat fungsi linear. Metode optimasi tanpa kendala yang digunakan
di sini adalah metode yang lebih umum yang dapat digunakan untuk kedua linear dan non-linier fungsi.
di sini adalah metode yang lebih umum yang dapat digunakan untuk kedua linear dan non-linier fungsi.
Perhatikan bahwa dalam masalah ini, dan masalah lain yang sejenis yang dalam bagian ini, indeks di Cobb- Fungsi produksi Douglas menambahkan hingga kurang dari kesatuan, memberikan kembali menurun ke skala dan maka rata-rata dan marjinal meningkat (jangka panjang) jadwal biaya. Jika ada hasil yang meningkat skala dan jadwal biaya rata-rata dan marjinal terus menurun, perusahaan menghadapi tetap harga akan ingin meningkatkan output tanpa batas waktu dan sehingga tidak ada solusi yang memaksimalkan keuntungan akan ditemukan dengan metode ini.
Bila fungsi melibatkan lebih dari dua variabel independen orde kedua kondisi
untuk maksimum atau minimum menjadi aljabar bahkan lebih kompleks dan matriks yang diperlukan untuk
memeriksa mereka. Namun, sampai kita sampai Bab 15, untuk masalah-masalah ekonomi yang melibatkan tiga atau
variabel lebih mandiri, kita hanya akan mempertimbangkan bagaimana kondisi orde pertama dapat digunakan
untuk menentukan nilai optimal. Dari cara masalah ini dibangun itu akan menjadi jelas
apakah atau tidak maksimum atau nilai minimum sedang dicari, dan akan diasumsikan bahwa
orde kedua kondisi puas untuk nilai-nilai yang memenuhi kondisi orde pertama.
RIAAAAAAAAAAAA
Teorema Euler
"Nilai produk marjinal" (VPC). Ini didefinisikan, untuk semua i, masuk sebagai produk marjinal (MPI) dikalikan dengan harga produk jadi yang dijual
(PQ)VMPi = PQMPi
Misalkan perusahaan menjual outputnya pada harga yang diberikan nilai PQ dengan Q = AKαLβ mana A α, β adalah konstanta dan. Jika setiap entri telah dibuat dengan harga sama dengan nilai produk marjinal harga kedua input dan k akan
pengeluaran total pada input sehingga akan
Total output dari hasil dari penjualan perusahaan akan PQQ TR
Total biaya input (yang membayar nilai produk marjinalnya) akan sama dengan total pendapatan saat
TR = TC. Oleh karena itu
Eliminasi PQ,
The condition required for (3) to hold is that α +β = 1.
Pada contoh sebelumnya menunjukkan bahwa harga akan selalu dibatalkan dalam TR dan TC formula dan apa kepentingan kita adalah apakah atau tidak
Jika ada penurunan kembali ke skala kenaikan output, proporsinya lebih kecil daripada input. Oleh karena itu,
jadi jika setiap input dibayar nilai produk marjinalnya akan ada surplus untuk cadangan. Demikian pula, jika ada yang meningkat atas skala, maka
Singkatnya, teorema Euler menunjukkan bahwa jika setiap masukan dibayar nilai produk marjinalnya total biaya input (i) pendapatan total akan sama jika skala hasil konstan, (ii) kurang dari total pendapatan menurun jika kembali ke skala, (iii) lebih besar dari pendapatan total jika yang meningkat atas skala.
Derivativ Total
Dalam diferensiasi parsial derivatif keseluruhan diasumsikan bahwa satu perubahan variabel sementara semua variabel independen lainnya tetap konstan. Namun, dalam beberapa kasus mungkin ada hubungan antara variabel independen dan sehingga asumsi ini tidak berlaku ceteris paribus. Sebagai contoh, dalam fungsi produksi dari input yang digunakan dapat mempengaruhi jumlah input lain yang dapat digunakan dengan itu. Dari diferensial total dari fungsi, kita dapat memperoleh derivatif total yang dapat mengatasi dengan efek tambahan. Asumsikan y = f (x, z) dan juga bahwa x = g (z). Jadi apapun perubahan akan mempengaruhi yz: (a) langsung melalui fungsi f (x, z), dan (b) secara tidak langsung dengan mengubah x melalui fungsi g (z), yang pada gilirannya mempengaruhi y melalui fungsi f (x, z).
Istilah pertama menunjukkan efek tidak langsung dari z, melalui dampaknya pada x, dan istilah kedua menunjukkan efek langsung.
